数论在20世纪的发展_研究_函数_理论

　　原标题：数论在20世纪的发展

　　在19世纪，经过了Gauss（高斯）、Kummer（库默尔）、Dirichlet（狄利克雷）、Riemann（黎曼）、Dedekind（戴德金）和Hilbert（希尔伯特）等人的努力，数论就已经突破初等数论的范围，而产生了代数数论和解析数论的初步理论。

　　在1897年，Hilbert（希尔伯特）发表了著名的《数论报告》，这本书深入研究了代数数域的伽罗瓦扩张与素理想分解之间的关系，并由此开启了代数数论进一步发展的大门。这本《数论报告》后来直接导致出现了1920年代的类域论、1930年代的局部域与局部整体原则、1940年代的有限域上函数域的算术和函数域上的黎曼猜想（即Weil（韦依）定理）的证明等重要成果。

　　20世纪的下半叶数论领域所取得的最 主要成就是：产生了代数簇的算术理论、建立了分圆域理论、提出了Langlands（朗兰兹）猜想、完成了Weil（韦依）猜想的证明、以及完成了Mordell（莫德尔）猜想的证明和Fermat（费马）大定理的证明。由于数论领域中所使用的方法不断翻新，因此涌现了数论领域中一系列新分支学科。数论领域成为了大量数学理论的应用场所，用以检验这些数学理论的有效性，例如算术几何就是将代数几何的方法运用到数论里而产生的一个新分支学科，算术几何中的Weil（韦依）猜想就是通过运用了Grothendieck（格罗滕迪克）的平展（étale）上同调理论而得到证明的。

　　目前在数论领域中比较成熟的分支学科（或方向）有： “

　　初等数论、连分数、数论函数、堆垒数论、素数的分布、数的几何与数论中的逼近、超越数、丢番图方程、二次域的数论、代数数域的数论、局部域、类域论、岩泽理论、代数K理论、算术几何、费马大定理、数域上的代数群、自守形式、志村（Shimura）簇、 函数、准齐性向量空间。

　　”

　　下面按照年份的顺序，罗列了在20世纪上半叶中，关于数论发展过程中的一些重要事件。

　　1900年，Hilbert（希尔伯特）在国际数学家大会上提出了23个著名的数学问题，它们在很大程度上推动了20世纪数学的发展。在这23个问题中，有6个是数论问题。

　　1901年，Poincaré（庞加莱）研究了亏格1曲线上的有理点。

　　1902年，Furtwängler证明了高次互反律定理。

　　1903年，Schmidt研究了素数分布的不规则性。

　　Voronoï研究了狄利克雷除子问题。

　　1904年，Minkowski（闵可夫斯基）创立了数的几何这个重要理论。

　　1907年，Furtwängler证明了关于类域的希尔伯特定理。

　　Hensel提出了 -进数理论。

　　1908年，Hensel发表了《代数数论》的第一卷。

　　1909年，Hilbert（希尔伯特）解决了经典的Waring（华林）问题。

　　Thue发现了两个变量的齐次丢番图方程解集的有限性。

　　1913年，Hensel发表了《数论》。

　　1914年，Hardy（哈代）发现了 函数在临界线上的无穷多零点。

　　Littlewood发现了素数分布的不规则性。

　　1916年，Ramanujan提出了 -函数。

　　1917年，Hecke（赫克）发现了理想类中素理想的表示，并且得到了戴德金zeta函数的方程及其解析延拓，他还研究了代数数域的狄利克雷L-函数。

　　Hardy与Ramanujan提出了圆法。

　　1918年，Hecke（赫克）研究了在欧拉积中的L-函数的分解。

　　1919年，Brun研究了埃拉托塞尼（Eratosthènes）筛法和孪生素数。

　　1920年，Takagi（高木贞治）研究了类域论和代数数域的阿贝尔扩张。

　　Hardy（哈代）和Littlewood研究了扩展的Waring（华林）问题。

　　1921年，E. Artin（E. 阿丁）研究了一般的互反律, 以及有限域上的函数域。

　　Siegel研究了代数数的逼近。

　　1922年，Mordell（莫德尔）提出了著名的莫德尔猜想，并且确定了小于4次的不定方程有理解。

　　1923年，Hasse提出了代数数域上的二次型理论。

　　Hecke（赫克）发表了名著《代数数理论讲义》。

　　图1：Hecke（赫克）写的《代数数理论讲义》中译本

　　1924年，E. Artin（E. 阿丁）提出了著名的关于一般互反律的Artin猜想。

　　1927年，E. Artin（E. 阿丁）证明了类域论中的互反律。

　　1928年，Weil（韦依）证明了著名的Mordell- Weil（莫德尔-韦依）定理。

　　1929年，Siegel（西格尔）研究了超越数和丢番图方程（证明了亏格1曲线上整点个数的有限性）。

　　Furtwängler证明了关于类域的主理想定理。

　　1930年，Chevalley（谢瓦莱）与Hasse建立了局部类域论。

　　1931年，Davenport得到了二次剩余分布的渐近公式。

　　1932年，Mahler研究了超越数的分类。

　　1933年，Hasse提出了同余 函数的黎曼猜想。

　　1934年，Heilbronn证明了最多有10个类数1的虚二次数域。

　　Vinogradov改进了Waring（华林）问题中的估计。

　　1935年，Siegel（西格尔）建立了二次型解析理论，并证明了Siegel-Walfisz素数定理。

　　Titchmarsh对黎曼猜想进行了计算验证。

　　1936年，Chevalley（谢瓦莱）提出了伊代尔（idèle）概念。

　　Hasse完成了关于黎曼猜想的E. Artin（E.阿丁）猜想的证明。

　　1937年，Hecke（赫克）提出了模形式的Hecke算子。

　　Vinogradov证明了每个大奇数是三个素数的和。

　　1938年，Hardy（哈代）与Wright发表了名著《哈代数论》。

　　图2：Hardy（哈代）与Wright写的《哈代数论》中译本

　　1939年，Siegel（西格尔）提出了Siegel模函数。

　　1940年，Weil（韦依）对有限域上的代数曲线证明了黎曼猜想。

　　Weyl（外尔）发表《数的代数理论》。

　　Chevalley（谢瓦莱）建立了伊代尔（idèle）理论。

　　1941年，Linnik Yu提出了大筛法。

　　1943年，Linnik Yu求出了华林问题的初等解。

　　1947年，Selberg提出了Selberg筛。

　　Vinogradov发表了《数论中的三角和方法》。

　　1949年，Weil（韦依）作出了著名的Weil（韦依）猜想，并且完成了同余 函数的黎曼猜想的证明。

　　Shafarivich证明了一般互反律。

　　Deuring研究了复乘的类域。

　　Hasse发表了名著《数论》。

　　图3：Hasse写的《数论》

　　1950年，Jones发表了《二次型的算术理论》。

　　阅 读 书 目

　　1．《数论——数学导引》，W. A. 科佩尔，哈尔滨工业大学出版社，2018年。

　　图4：W. A. 科佩尔写的《数论——数学导引》中译本

　　2．《代数数论简史》，冯克勤，哈尔滨工业大学出版社，2015年。

　　图5：冯克勤写的《代数数论简史》

　　3．《代数数论》，冯克勤，哈尔滨工业大学出版社，2018年。

　　图6：冯克勤写的《代数数论》

　　4．《代数数论导引》，张贤科，湖南教育出版社，1999年。

　　图7：张贤科写的《代数数论导引》

　　5．《数论I——Fermat的梦想和类域论》，加藤和也等，高等教育出版社，2009年。

　　图8：加藤和也等人写的《数论I——Fermat的梦想和类域论》

　　6．《数论II——岩泽理论和自守形式》，黑川信重等，高等教育出版社，2009年。

　　图9：黑川信重等人写的《数论II——岩泽理论和自守形式》

　　7．《模形式初步》，李文威，科学出版社，2020年。

　　图10：李文威写的《模形式初步》

　　8，《数学百科辞典》，日本数学会，科学出版社，1984年。

　　图11：日本数学会编写的《数学百科辞典》中译本

　　9，《中国大百科全书（数学卷）》，中国大百科全书出版社，1988年。

　　图12：《中国大百科全书（数学卷）》

　　10．《数论概论》（英文第3版），J. H. Silverman，机械工业出版社，2015年。

　　图13：J. H. Silverman写的《数论概论》（英文第3版）

　　11．《From Fermat to Minkowski》，W. Scharlau、H. Opolka，Springer-Verlag，1985年。

　　图14：W. Scharlau和H. Opolka写的《From Fermat toMinkowski》

　　12．《The Queen of Mathematics》，J. R. Goldman，A K Peters,Ltd，2002年。

　　图15：J. R. Goldman写的《The Queen of Mathematics》

　　13．《Introductory Algebraic Number Theory》，S. Alaca、K. S. Williams，Cambridge University Press，2004年。

　　图16：S. Alaca和K. S. Williams写的《Introductory Algebraic Number Theory》

　　14．《Introduction to Analytic Number Theory》，T. M. Apostol，Springer-Verlag，1976年。

　　图17：T. M. Apostol写的《Introduction to Analytic Number Theory》

　　15．《椭圆曲线上的有理点》，J. H. Silverman、J. Tate，世界图书出版公司北京公司，2015年。

　　图18：J. H. Silverman和J. Tate写的《椭圆曲线上的有理点》

　　16．《数论导引》，G. Everest、T. Ward，科学出版社，2011年。

　　图19：G. Everest和T. Ward写的《数论导引》

　　17．《现代数论经典引论》（第2版），K. Ireland、M. Rosen，世界图书出版公司北京公司，2003年。

　　图20：K. Ireland和M. Rosen写的《现代数论经典引论》（第2版）

　　18．《数论（第1卷）》，H. Cohen，世界图书出版公司北京公司，2019年。

　　图21：H. Cohen写的《数论（第1卷）》

　　文稿|陈跃

　　编辑|朱善军

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